روش های تحلیل ماتریسی

روش های تحلیل ماتریسی که اولین بار توسط نیوتس مطرح شد، یک چارچوب قدرتمند و یکپارچه برای تحلیل دسته بزرگی از فرآیندهای تصادفی است و قابل تعمیم برای فرآیندهایی با ابعاد نامتناهی و حالت های ناهمگن نیز می باشد. مطالعه بسیاری از مدل های تصادفی با معرفی زنجیرهای مارکوف مشتق از آن ها که ساختارهای خاصی دارند، امکان پذیر شده است. این مسأله در تئوری صف ، مدل های انبارداری و فرآیندهای شاخه ای به خوبی نمایان شده است. هر یک از این زمینه های تئوری احتمال کاربردی، کلاس های متعددی از زنجیرهای مارکوف را به وجود آورده که تحلیلشان پایه ای برای تعمیم و بسط بیش تری بوده است. یک کلاس غنی خاص از مدل های زنجیرهای مارکوف، کلاسی با مدل های تحلیل ماتریسی است که شامل مدل های gi/m/1 و m/g/1 است و توسط نیوتس در سال های 1981 و 1989 معرفی شد. این فرآیندها، فرآیندهای مارکوف دوبعدی با نام طبقه و فاز هستند. برای چنین فرآیندهای مارکوف و مدل های تصادفی مرتبط، ارائه یک تحلیل احتمالاتی و جواب های الگوریتمی امکان پذیر است. مزیت ارائه نتایج احتمالاتی جدا از الگوریتم ها این است که، نشان داده می شود ویژگی های ساختاری به متناهی بودن یا نامتناهی بودن فضای وضعیت فازها بستگی ندارد و تنها زمانی که محاسبات ماتریسی انجام می شود، لازم است فضای وضعیت فازها متناهی در نظر گرفته شود. ماتریس r برای مدل gi/m/1 و ماتریس g برای مدل m/g/1، نقش مهمی را در ساختار توزیع های ایستا ایفا می کنند. (r,k) امین عضو ماتریس r برای یک طبقه مفروض n، متوسط دفعاتی است که زنجیر با شروع از فاز r طبقه n، فاز k طبقه n+1 را ملاقات کند، بدون این که از طبقات زیرین n گذر کرده باشد و (r,k) امین عضو ماتریس g برای یک طبقه n، احتمال این است که زنجیر با شروع از فاز r طبقه n+1، سرانجام فاز k طبقه n را ملاقات کند، بدون این که از طبقات زیرین n گذر کرده باشد. دراین پایان نامه، با در نظر گرفتن زنجیرهای مارکوف زمان گسسته و با استفاده از نتایج مربوط به فرآیندهای تجدید پایان پذیر، ساختار توزیع های ایستا برای دو مدل مذکور و ساختار توزیع های گذرا برای مدل gi/m/1 بررسی می شوند. همچنین شرایط لازم برای وجود توزیع های ایستا یا ارگودیک بودن زنجیرها بیان می شوند و در نهایت به بررسی ارتباط بین دو مدل و دوگان های معرفی شده بین آن ها، می پردازیم.